Wahdiat's blog

Just look! The day's almost as beautiful as you!

Month: February 2015

Random Variates

Random Variates adalah nilai variabel random yang memiliki distribusi tertentu didapatkan dari suatu random variabel x dengan distribusi tertentu yang dispesifikasikan dan dibangkitkan dengan berbagai method seperti Inverse Transform Method, Rejection Method, dan Composition Method.

 

  • Inverse Transform Method

Merupakan metode yang paling sederhana dan terbaik dalam beberapa cara. Inverse transformation digunakan ketika F inverse dapat ditentukan secara analitis maupun empiris.

Asumsikan X adalah fungsi distribusi kumulatif (CDF) yang kontinyu. F(x) = P(X <= x) untuk semua bilangan real.

  • Algoritma untuk inverse transformation method yaitu :

  1. Menggenerate U ~ U(0, 1) (RNG)

  2. Menghitung nilai X pada F(X) = U

  • Contoh dari inverse transformation method :

  • Probabilitas dari ukuran paket trimodal

Size Probability

64 Bytes 0.7

128 Bytes 0.1

512 Bytes 0.2

  • CDF untuk distribusi ini yaitu :

0.0 0 <=x <64

F = 0.7 64 <=x <128

0.8 128 <=x <512

1.0 512 <=x

  • Fungsi inversenya yaitu :

64 0 <x <=0.7

F = 128 0.7 <x <=0.8

512 0.8 <x <=1

  • Generate u~U(0,1)

u<=0.7 size = 64

0.7<u<=0.8 size = 128

0.8<u size = 512

 

  • The Rejection Method

  • Algoritma untuk rejection method yaitu :

  1. Generate Y dengan density x

  2. Generate U ~ U(0,1)

  3. Jika U <= f(Y)/t(Y), kembalikan X=Y dan berhenti, selain itu ulangi dari step 1 sampai berhasil

  • Contoh dari rejection method yaitu :

Beta(4,3) distribusi, density adalah f(x) = 60 x^3 (1 – x)^2 for 0<=x<=1

Density tertinggi adalah tepat f(0.6) = 2.0736, maka t(x) = 2.0736 untuk 0<=x<=1

Maka, c = 2.0736, dan r adalah U(0,1) fungsi density

  • Algoritma:

  1. Generate  Y ~ U(0,1)

  2. Generate U ~ U(0,1)

  3. Jika U<=60 Y^3 (1-Y)^2/2.0736, kembalikan X=Y dan berhenti, selain itu ulangi dari step 1 sampai selesai.

  4. P(acceptance) pada step 3 adalah 1/2.0736 = 0.48

 

  • The Composition Method

  • Algoritma dari composition method yaitu :

  1. Generate positif random integer J seperti P(J = j) = pj

  2. Kembalikan X dengan CDF FJ (misalkan J = j, X digenerasikan secara independen dari J)

  • Contoh dari composition method yaitu :

*updated soon

————————————————————————————————————————–

Referensi :

https://okudewi.wordpress.com/2014/03/

http://web.ics.purdue.edu/~hwan/IE680/Lectures/Chap08Slides.pdf

http://www.cse.wustl.edu/~jain/cse567-08/ftp/k_28rvg.pdf

 

Distribusi pada Pemodelan dan Simulasi

1. Alasan kebutuhan penggunaan distribusi dalam pemodelan dan simulasi.

karena dengan adanya ditribusi pada pemodelan dan sistem, kita dapat emmvalidasi model simulasi, kemudian kita juga dapat menghasilkan sampela acak dari distribusi tersebut, lalu kita dapat melakukan analisis statistik output data dari simulasi, kita juga dapat mendesain simulasi dari eksperimen, dan juga melakukan evaluasi serta membandingkannya dengan alternatif sistem yg kita buat.

2.Berikut adalah jenis-jenis distribusi:

Binomial, Poisson, Discrete Uniform, Weibull, Uniform, Exponential, m-Erlang, Geometric, Bernoulli, Gamma, Negative Binomial, Gauss.

a. Kelompokkan distribusi tersebut ke jenis distribusi diskret atau kontinyu.

b. Dari masing-masing jenis (diskret atau kontinyu) jelaskan minimal 2 jenis distribusi. Penjelasan distribusi meliputi: contoh penjelasan dan karakteristik, contoh (dapat disertai gambar grafik)

Pada sistem distribusi terdapat dua jenis distribusi, yaitu diskret dan kontinyu :

  • Distribusi diskret yaitu distribusi dimana perubahnya secara teoritis tidak dapat menerima sembarang nilai diantara dua nilai yang diberikan.Jika sebuah distribusi X diskret, makan X disebut sebagai variabel acak diskret Jenis-jenis distribusi yang termasuk kedalam distribusi diskret antara lain : Binomial, Poisson, Bernoulli, Discrete Uniform, Geometric, dan Negative Binomial.

  • Distribusi kontinyu adalah distribusi probabilitas yang memiliki fungsi kepadatan probabilitas  terus-menerus. Jika distribusi X kontinyu, maka X disebut sebagai variabel acak kontinyu. Jenis-jenis distribusi yang temasuk kedalam distribusi kontinyu antara lain : Weibull, Exponential, m-Erlang, Uniform, Gamma, dan Gauss.

Distribusi Diskret :

  • Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskret yang jumlah keberhasilan dalam n percobaan saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p yang biasanya digunakan pada proses sampling. Misalnya, dalam pelemparan koin sebanyak 3 kali, hasil yang didapat mungkin muncul sisi angka atau sisi gambar. Karakteristik dari distribusi Binomial adalah setiap percobaan pasti memberikan hasil, kemudian peluang setiap percobaan adalah sama.

Contoh :

Sebanyak 5 mahasiswa akan mengikuti ujian sarjana dan diperkirakan probabilitas kelulusannya adalah 0,7. Hitunglah dimana  paling banyak 2 orang lulus !

Jawab :

n = 5; p = 0,7; q = 0,3; x = 0, 1, dan 2

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

  = 1(0,7)^0 (0,3)^5 + 5(0,7)^1 (0,3)^4 + 10(0,7)^2 (0,3)^3

  = 0,16

 

  • Distribusi Poisson adalah distribusi yang menyatakan peluang jumlah peristiwa yang terjadi pada periode waktu tertentu, jika rata-rata kejadian tersebut diketahui dan dalam waktu yang saling bebas sejak kejadian terakhir. Karakteristik dari distribusi ini adalah dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan.

Contoh :

200 penumpang telah memesan tiket untuk sebuah penerbangan luar negeri. Jika probabilitas penumpang yang telah mempunyai tiket tidak akan datang adalah 0.01 maka berapakah peluang ada 3 orang yang tidak datang.

Jawab : Dik : n = 200, P = 0.01, X = 3, μ = n . p = 200 . 0.01 = 2

P ( x ; μ ) = e^–μ . μ^X, X! = 2.71828^–2 . 2^3 = 0.1804 atau 18.04 % 3!

 

Distribusi Kontinyu :

  • Distribusi Exponential adalah distribusi yang menggambarkan waktu antara peristiwa dalam proses Poisson, yaitu proses di mana suatu peristiwa terjadi secara terus-menerus dan mandiri pada tingkat rata-rata yang konstan.

Contoh :

Misalkan x adalah response time dari suatu komputer yang memiliki suatu distribusi eksponensial dengan waktu tanggap 5 detik. Jika seseorang perintah tersebut akan dijalankan selambat-lambatnya setelah 15 detik, berapakah peluangnya ?

Jawab :

P (X<=10) = F (10) = 1 – e^-10/0,2 = 1 – e^-2 = 1 – 0,135 = 0,865

  • Distribusi Uniform Continuous adalah keluarga dari distribusi probabilitas simetris sehingga untuk setiap family, semua interval yang sama panjang pada support distribusi kemungkinannya adalah sama.

Contoh :
Sebuah gedung dapat disewa untuk suatu acara yang lamanya tidak lebih dari 10 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu acara pada sistem distribusi uniform..

  1. Tentukan fungsi densitas peluang dari X

  2. Tentukan peluang suatu acara berlangsung 5 jam atau lebih.

Jawab :

  1. A = 0 , B = 10. f(x) = { 1/10 , 0 <= x <= 10
    {0, lainnya

  2. P(X>=5) = 5∫10 1/10 dx = ¼ X | x=5. x=10 =  10/10 – 5/10 = 5/10 = ½

3. Terlampir 6 data set, silahkan tentukan masing-masing data set termasuk dalam distribusi random variabel mana? (dapat menggunakan aplikasi/tools yang sudah ada). Pada point ini jelaskan:

data set a = 1.PNG

data set b =2.PNG

data set c = 3.PNG

data set d = 4.PNG

data set e = 5.PNG

data set f = 6.PNG

a. langkah2 mendapatkan jenis distribusi dengan tools yang sudah ada

  • inputkan set data kedalam tools yang ada (minitab trial)

  • pilih graph

  • pilih histogram

  • pilih simple

  • klik ok

  • bandingkan diagram dengan jenis distribusi yang ada

b. Kasus-kasus penggunaan distribusi tersebut.

Referensi :

https://www.academia.edu/9733737/Jenis_Fungsi_Distribusi_Diskrit_dan_Kontinu

http://en.wikipedia.org/wiki/Univariate_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution#Discrete_probability_distribution

http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_distribution#Continuous_probability_distribution

http://intanlailiyah98.blogspot.com/2013/04/distribusi-binomial-dan-poisson.html

http://www.slideshare.net/EmanM4/distribusi-binomial-33788422

http://www.slideshare.net/inandjar/distribusi-probabilitasdiskritpoisson

http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_distribution_(continuous)

http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_distribution

© 2017 Wahdiat's blog

Theme by Anders NorenUp ↑